Był synem Jakoba Kobruna, właściciela rafinerii cukru trzcinowego i eksportera zboża oraz drewna.

Jakob fachu uczył się w firmie ojca, a po jej upadku od 1780 r. pracował w angielskiej firmie William Josua und James Kenworthy prosperującej w Gdańsku. Po 1790 r. przejął firmę, w której pracował.

W 1810 r. pełnił funkcję konsula Saksonii i Księstwa Warszawskiego w Gdańsku. W 1811 r. został obciążony nadzwyczajną kontrybucją francuską na sumę 10 000 franków. Kontrybucją objęto 16 najzamożniejszych gdańszczan i opiewała na ogólną kwotę 250 000 franków.

Jakob Kobrun był znanym kolekcjonerem, a swoje zbiory podarował miastu. Według inwentarza z 1856 r. na zbiór składało się m.in. 349 obrazów, 1950 akwarel i rysunków oraz 10 883 miedzioryty. Kolekcja Jakoba Kobruna stanowiła trzon zbiorów Muzeum Miejskiego, które otwarto w 1873 r.  Syn Jakoba, August dodatkowo do zbiorów ofiarował miastu własną kolekcję 52 obrazów.